Metode Numerik Untuk Solusi Persamaan Linear¶
Pendahuluan Persamaan Linear¶
Persamaan Linear dapat ditulis dalam bentuk matriks : $$ A.x = B $$ Dimana A adalah koefisien matrix dan b adalah vector sisi kanan :
Metode Eliminasi Gauss¶
Mencari solusi persamaan linear dengan membuat matrix triangular atas.
Terdiri dari dua tahap :
- Forward Elimination (eliminasi maju)
- Backward substitution (substitusi mundur)
1) Forward Elimination¶
Tujuan Forward Elimination adalah untuk membentuk matriks koefisien menjadi Upper Triangular Matrix
Sepasang n persamaan dan n variabel yang tidak diketahui $$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3+ ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3+ ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3+ ... + a_{3n}x_n = b_3 \\ ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \\ ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \\ ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{n3}x_3+ ... + a_{nn}x_n = b_n $$ Dengan contoh : $$ 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 -x_4 = -2 \\ 2x_1 + 5x_2 - 3x_3 + x_4 = 7 \\ -2x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 1 \\ -5x_1 + 2x_2 - x_3 +3x_4 = 8 $$ maka dalam bentuk matrix nya :
untuk melakukan Forward Elimination (Eliminasi maju). berikut seperti contoh di bawah ini
2. Backward Substitution¶
Proses penyelesaian sistem persamaan linear yang telah diubah menjadi bentuk eselon baris atau bentuk eselon baris tereduksi. Persamaan terakhir diselesaikan pertama, lalu selanjutnya ke terakhir
Berikut setelah melakukan Eliminasi Maju (Forward Elimination), maka bisa melakukan Backward Substitution (Substitusi Mundur), berikut
$$
x_1 + {3 \over 2}x_2 - x_3 - {1 \over 2}x_4 = -1 \\
x_2 - {1 \over 2}x_3 + x_4 = {9 \over 2} \\
x_3 - {7 \over 3}x_4 = - {19 \over 3}\\
x_4 = {572 \over 143} = 4
$$
maka diperoleh $x_4 = {572 \over 143} = 4$, maka
$$
x_3 - {7 \over 3}x_4 = - {19 \over 3}\\
x_3 - {7 \over 3}(4) = -{19 \over 3}\\
x_3 = -{19 \over 3}+ {28 \over 3} \\
x_3 = {9 \over 3}\\
x_3 = 3
$$
diperoleh $x_3 = {2 \over 3}$, maka lanjut ke substitusi berikutnya
$$
x_2 - {1 \over 2}x_3 + x_4 = {9 \over 2} \\
x_2 - {1 \over 2}(3)+ 4 = {9 \over 2}\\
x_2 - {3 \over 2}+4 = {9 \over 2}\\
x_2 = {9 \over 2}+ {3 \over 2}-4 \\
x_2 = {12 \over 2} - 4\\
x_2 = 6 - 4 = 2
$$
diperoleh $x_2 = {5 \over 6}$, maka lanjut ke substitusi berikutnya
$$
x_1 + {3 \over 2}x_2 - x_3 - {1 \over 2}x_4 = -1\\
x_1 + {3 \over 2}(2) - (3) - {1 \over 2}(4) = -1\\
x_1 + 3 -3 - 2 = -1 \\
x_1 -2 = -1 \\
x_1 = 1
$$
Maka diperoleh :
$$
x_4 = 4 \quad , x_3 = 3 \quad, x_2 = 2 \quad dan \quad x_1 = 1
$$
Implementasi Metode Eliminasi Gauss Dengan Python¶
Pada Implementasi Metode Eliminasi dengan Python, Langkah awal dengan meng- import numpy as np lalu memberikan variabel kosong(list kosong) / inisialisasi agar memudahkan untuk bisa melakukan inputan dimasukkan / ditambahkan dalam list kosong tersebut, berikut codenya
import numpy as np #Definisi Matrix A = [] B = [] n = int(input("Masukkan ukuran Matrix: ")) for i in range(n): baris=[] for i in range(n): a=int(input("Masukkan Nilai Koefisien X: ")) baris.append(a) A.append(baris) for i in range(n): h = int(input("Masukkan Hasil: ")) B.append(h)
Lalu memberikan inisialisasi Matrix =n.array ,kemuian memberikan len matrix untuk mengetahui ukuran matrix yang digunakan dan menge-print Persamaan A dan Hasil B untuk mudah dimengerti
Matrix=np.array(A,float) Hasil=np.array(B,float) n=len(Matrix) print("Persamaan A = \n",Matrix) print("Hasil B = ",Hasil)
Kemudian memberikan code Eliminasi Gauss pada Forward Eliminasi dan menge-print hasil akhir dari persamaan yang dieliminasi beserta hasil(b)nya , berikut codenya
#Eliminasi Gauss Maju for k in range(0,n-1): for i in range(k+1,n): if Matrix[i,k]!=0 : lam=Matrix[i,k]/Matrix[k,k] Matrix[i,k:n]=Matrix[i,k:n]-(Matrix[k,k:n]*lam) Hasil[i]=Hasil[i]-(Hasil[k]*lam) print("Persamaan A Yang Sekarang : ",'\n',Matrix) print("Hasil B : ",'\n',Hasil)
Lalu memberikan code Substitusi ,yang bisa kita sebut sebagai Backward Substitution(Substitusi Mundur), berikut codenya
#Backward Subtitution x=np.zeros(n,float) for m in range(n-1,-1,-1): x[m]=(Hasil[m]-np.dot(Matrix[m, m+1:n], x[m+1:n]))/Matrix[m,m] print('Nilai X ',m+1, '=',x[m])
Berikut Hasil Code yang telah dijalankan :
Masukkan ukuran Matrix: 3 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: -2 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: -2 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Nilai Koefisien X: 1 Masukkan Hasil: -6 Masukkan Hasil: 3 Masukkan Hasil: 9 Persamaan A = [[ 1. 1. 1.] [ 1. -2. 1.] [-2. 1. 1.]] Hasil B = [-6. 3. 9.] Persamaan A Yang Sekarang : [[ 1. 1. 1.] [ 0. -3. 0.] [ 0. 0. 3.]] Hasil B : [-6. 9. 6.] Nilai X 3 = 2.0 Nilai X 2 = -3.0 Nilai X 1 = -5.0
Maka diperoleh nilai dari persamaan diatas : $$ x_1 = -5 \quad , x_2 = -3 \quad, x_3 = 2 $$ Bila Melakukan Pengecekan dengan persamaan diatas menggunakan persamaan 1, yaitu $$ x_1+x_2+x_3 = -6, maka \\ (-5)+(-3)+2 = -6 \\ -8 + 2 = -6 \\ -6 = -6 , Terbukti $$ Pada Persamaan 2 , yaitu : $$ x_1 - 2x_2 + x_3 = 3, maka \\ (-5) - 2(-3) + 2 = 3 \\ -5 +6 + 2 = 3 \\ 1 + 2 = 3 \\ 3 = 3, Terbukti $$
Implementasi Metode Forward Elimination dan Backward Substitution Dengan Python¶
Pada Implementasi Metode Gauss Forward dan Backward Substitution dengan python, contohnya menggunakan persamaan yang berikut persamaanya sama seperti contoh diatas : $$ 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 -x_4 = -2 \\ 2x_1 + 5x_2 - 3x_3 + x_4 = 7 \\ -2x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 1 \\ -5x_1 + 2x_2 - x_3 +3x_4 = 8 $$ Di Implementasikan dengan bahasa pemrograman Python, berikut hasil Code python pada persamaan yang telah dihitung secara manual, List Programnya
import numpy as np def forward_elimination(A, b, n): """ Mengkalkulasi Forward pada Gauss Eliminasi. """ for row in range(0, n-1): for i in range(row+1, n): factor = A[i,row] / A[row,row] for j in range(row, n): A[i,j] = A[i,j] - factor * A[row,j] b[i] = b[i] - factor * b[row] print('A = \n%s and b = %s' % (A,b)) return A, b def back_substitution(a, b, n): """" Backward Substitution, setelah melakukan Eliminasi Forward. """ x = np.zeros((n,1)) x[n-1] = b[n-1] / a[n-1, n-1] for row in range(n-2, -1, -1): sums = b[row] for j in range(row+1, n): sums = sums - a[row,j] * x[j] x[row] = sums / a[row,row] return x def gauss(A, b): """ This function performs Gauss elimination without pivoting. """ n = A.shape[0] # Check for zero diagonal elements if any(np.diag(A)==0): raise ZeroDivisionError(('Division by zero will occur; ' 'pivoting currently not supported')) A, b = forward_elimination(A, b, n) return back_substitution(A, b, n) # Main program starts here if __name__ == '__main__': A = np.array([[2, 3, -2, -1], [2, 5, -3, 1], [-2, 1, 3, -2], [-5, 2, -1, 3]]) b = np.array([-2, 7, 1, 8]) print("Persamaan A = \n",A) print("Hasil b = ",b) x = gauss(A, b) print('Gauss result is x = \n %s' % x)
Dapat kita ketahui Persamaan A sebagai persamaan Koefisien $x_1,x_2,x_3,x_4$ dan Hasil b merupakan hasil dari ke 4 persamaan tersebut. Berikut Hasil program yang telah dijalankan :
Persamaan A = [[ 2 3 -2 -1] [ 2 5 -3 1] [-2 1 3 -2] [-5 2 -1 3]] Hasil b = [-2 7 1 8] A = [[ 2 3 -2 -1] [ 0 2 -1 2] [ 0 4 1 -3] [ 0 9 -6 0]] and b = [-2 9 -1 3] A = [[ 2 3 -2 -1] [ 0 2 -1 2] [ 0 0 3 -7] [ 0 0 -1 -9]] and b = [ -2 9 -19 -37] A = [[ 2 3 -2 -1] [ 0 2 -1 2] [ 0 0 3 -7] [ 0 0 0 -11]] and b = [ -2 9 -19 -43] Gauss result is x = [[0.76515152] [1.98484848] [2.78787879] [3.90909091]]
Dapat kita ketahui hasil dari $x_1,x_2,x_3,x_4$, yaitu $$ x_4 = 3.90909091, \quad mendekati \quad nilai \quad x_4 \quad yang \quad sebenarnya \\ x_3 = 2.78787879, \quad mendekati \quad nilai \quad x_3 \quad yang \quad sebenarnya \\ x_2 = 1.98484848, \quad mendekati \quad nilai \quad x_2 \quad yang \quad sebenarnya \\ x_1 = 0.76515152, \quad mendekati \quad nilai \quad x_1 \quad yang \quad sebenarnya $$ Pada hasil Code Python yang telah di Implementasikan hampir mendekati nilai x yang sebenarnya. Secara hitungan Manual , berikut nilai $x_1,x_2,x_3,x_4$ yang sebenarnya yaitu : $$ x_4 = 4 \quad, x_3 = 3 \quad ,x_2 = 2 \quad dan \quad x_1 = 1 $$
Metode Gauss Jacobi¶
Metode ini merupakan suatu teknik penyelesaian SPL berukuran $n x n$, $AX = b$, secara iteratif. Proses penyelesaian dimulai dengan suatu hampiran awal terhadap penyelesaian, X0, kemudian membentuk suatu serangkaian vector $X1, X2, … $ yang konvergen ke $X.$
Metode Jacobi adalah metode iteratif matriks yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan $A.x = b$ untuk matriks kuadrat yang diketahui $A$ berukuran $ nxn $ dan diketahui vektor $b$ atau panjang $n$.
Secara Umum metode gauss jacobi didefinisikan sebagai berikut : $$ \sum_{i = 1}^n x_i^{(k+1)} = {b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)} \sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j^{(k)} \over a_{ii}} $$ Metode Jacobi digunakan secara luas dalam perhitungan metode beda hingga (FDM), yang merupakan bagian penting dari lanskap keuangan kuantitatif. The Black-Scholes PDE dapat dirumuskan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan dengan teknik beda hingga. Metode Jacobi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan matriks yang dihasilkan dari FDM.
Algoritma untuk metode Jacobi relatif mudah. Kita mulai dengan persamaan matriks berikut: $$ A. x = b $$
Kemudian, diketahui bahwa $A = D + (L+U),$ dimana D merupakan matriks diagonal $L$ merupakan matriks segitiga bawah, dan $U$ merupakan matriks segitiga atas
Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :
$Dx+(L+U)x = b,$
Kemudian,
$x = D^{-1} [b-(L+U)x],$
Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai : $$ x^{(k+1)} = D^{-1}[ b - (L+U)x^{(k)}] $$ dimana k merupakan banyaknya iterasi, Jika $x^{(k)}$ menyatakan hampiran ke- $k$ penyelesaian SPL, maka $x^{(0)}$ adalah hampiran awal.
Implementasi Metode Gauss Jacobi Dengan Python¶
Pada Implementasi Metode Gauss Jacobi dengan Python . Pertama harus meng-import kan numpy as np dan memberikan variabel Iterasi Maksimum yang akan dijalankan ,berikut codenya
import numpy as np ITERATION_LIMIT = 1000
Setelah melakukan import dan memberikan variabel iterasi maksimum , lalu memberikan inisialisasi matrix dan inisialisasi RHS vector (Hasil dari Vector/Persamaan),berikut codenya
# initialize the matrix A = np.array([[10., -1., 2., 0.], [-1., 11., -1., 3.], [2., -1., 10., -1.], [0.0, 3., -1., 8.]]) # initialize the RHS vector b = np.array([6., 25., -11., 15.])
Kemudian agar mempermudah hasil dari code maka mengprint persamaan yang sedang digunakan, berikut codenya
# print persamaan print("Persamaan :") for i in range(A.shape[0]): row = ["{}*x{}".format(A[i, j], j + 1) for j in range(A.shape[1])] print(" + ".join(row), "=", b[i]) print()
Kemudian memberikan encode inisial dan looping saat akan melakukan perulangan yang akan terus dicari sampai persamaan yang telah diberikan akan mendapatkan hasil yang sebenarnya, berikut hasil codenya
x = np.zeros_like(b) for it_count in range(ITERATION_LIMIT ): print("Solusi Sekarang:" , x) x_new = np.zeros_like(x) for i in range(A.shape[0]): s1 = np.dot(A[i, :i], x[:i]) s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:]) x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i] if np.allclose(x, x_new, atol=1e-10, rtol=0.): break x = x_new print("Solution:") print("x1 , x2, x3, x4 ",x)
Maka Output dari Hasil Code yang telah dijalankan ,berikut ini:
Persamaan : 10.0*x1 + -1.0*x2 + 2.0*x3 + 0.0*x4 = 6.0 -1.0*x1 + 11.0*x2 + -1.0*x3 + 3.0*x4 = 25.0 2.0*x1 + -1.0*x2 + 10.0*x3 + -1.0*x4 = -11.0 0.0*x1 + 3.0*x2 + -1.0*x3 + 8.0*x4 = 15.0 Solusi Sekarang: [0. 0. 0. 0.] Solusi Sekarang: [ 0.6 2.27272727 -1.1 1.875 ] Solusi Sekarang: [ 1.04727273 1.71590909 -0.80522727 0.88522727] Solusi Sekarang: [ 0.93263636 2.05330579 -1.04934091 1.13088068] Solusi Sekarang: [ 1.01519876 1.95369576 -0.96810863 0.97384272] Solusi Sekarang: [ 0.9889913 2.01141473 -1.0102859 1.02135051] Solusi Sekarang: [ 1.00319865 1.99224126 -0.99452174 0.99443374] Solusi Sekarang: [ 0.99812847 2.00230688 -1.00197223 1.00359431] Solusi Sekarang: [ 1.00062513 1.9986703 -0.99903558 0.99888839] Solusi Sekarang: [ 0.99967415 2.00044767 -1.00036916 1.00061919] Solusi Sekarang: [ 1.0001186 1.99976795 -0.99982814 0.99978598] Solusi Sekarang: [ 0.99994242 2.00008477 -1.00006833 1.0001085 ] Solusi Sekarang: [ 1.00002214 1.99995896 -0.99996916 0.99995967] Solusi Sekarang: [ 0.99998973 2.00001582 -1.00001257 1.00001924] Solusi Sekarang: [ 1.00000409 1.99999268 -0.99999444 0.9999925 ] Solusi Sekarang: [ 0.99999816 2.00000292 -1.0000023 1.00000344] Solusi Sekarang: [ 1.00000075 1.99999868 -0.99999899 0.99999862] Solusi Sekarang: [ 0.99999967 2.00000054 -1.00000042 1.00000062] Solusi Sekarang: [ 1.00000014 1.99999976 -0.99999982 0.99999975] Solusi Sekarang: [ 0.99999994 2.0000001 -1.00000008 1.00000011] Solusi Sekarang: [ 1.00000003 1.99999996 -0.99999997 0.99999995] Solusi Sekarang: [ 0.99999999 2.00000002 -1.00000001 1.00000002] Solusi Sekarang: [ 1. 1.99999999 -0.99999999 0.99999999] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solusi Sekarang: [ 1. 2. -1. 1.] Solution: x1 , x2, x3, x4 [ 1. 2. -1. 1.]
Maka diperoleh hasil dari persamaan diatas $$ x_1 = 1, x_2 = 2,x_3 = -1 ,x_4 = 1 $$ Bila melakukan Pengecekan ,misal pada persamaan 1 $$ 10x_1 - x_2 + 2x_3 = 6, maka \\ 10(1)- (2) + 2(-1) = 6 \\ 10 - 2 - 2 = 6 \\ 6 = 6, Terbukti $$ Pada persamaan 2 $$ -x_1 + 11x_2 -x_3 +3x_4 = 25,maka \\ -(1) + 11(2) -(-1) +3(1) = 25 \\ -1 +22 +1 +3 = 25 \\ 25 = 25 , Terbukti $$
Metode Gauss Siedel¶
Metode Gauss-Siedel merupakan metode iterasi atau aproksimasi yang mengasumsikan bahwa persoalan dianalogikan seperti matrix $[A]{X}=[B]$ dengan batas bahwa matriksnya merupakan matriks $3x3$, elemen diagonalnya tidak sama dengan nol dan persamaannya bersifat konvergen.
Secara Umum metode gauss-siedel didefinisikan sebagai berikut: $$ \sum_{i =1}^n x_i^{(k+1)} = {b_i - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1} \sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_k^{(k)} \over a_{ii}} $$ Untuk lebih jelasnya berikut penjelasan langkah dalam penyelesaian persamaan linier dengan metode Gauss-Siedel :
Sistem Persamaan Linier: $$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 $$ Pada Langkah awal gunakan persamaan diatas lalu cari $x1, x2, x3$ berikut
Pada Persamaan Pertama : $$ x_1 = {b_1 - a_{13}x_3 - a_{12}x_2 \over a_{11}} $$ Pada Persamaan Kedua : $$ x_2 = {b_2 -a_{21}x_1 - a_{23}x_3 \over a_{22}} $$ Pada Persamaan Ketiga : $$ x_3 = {b_3 - a_{31}x_1 - a_{32}x_2 \over a_{33}} $$ Iterasi Pertama :
Mencari nilai $x_1$ dengan menggunakan $x_2 = 0$ dan $x_3 = 0$ $$ x_1 = {b_1 - a_{13}x_3 - a_{12}x_2 \over a_{11}} \\ x_1 = {b_1 \over a_{11}}, x_1 \quad Ini \quad adalah \quad x_1(baru) $$ Mencari nilai $x_2$ dengan menggunakan $x_3 = 0$ dan $x_1(baru)$ $$ x_2 = {b_2 -a_{21}x_1 - a_{23}x_3 \over a_{22}} \\ x_2 = {b_2 - a_{21}x_1 \over a_{22}}, x_2 \quad Ini \quad adalah \quad x_2(baru) $$ Mencari nilai $x_3$ dengan menggunakan $x_2(baru)$ dan $x_1(baru)$ $$ x_3 = {b_3 - a_{31}x_1 - a_{32}x_2 \over a_{33}} $$ $Iterasi \quad Selanjutnya ........$
Implementasi Metode Gauss Siedel Pada Python¶
Pada Implementasi Metode Gauss Siedel dengan Python, Langkah Awal dengan membuat sebuah Fungsi Seidel , berikut codenya
def seidel(a, x ,b): n = len(a) for j in range(0, n): # temp variable d to store b[j] d = b[j] # to calculate respective xi, yi, zi for i in range(0, n): if(j != i): d-=a[j][i] * x[i] # updating the value of our solution x[j] = d / a[j][j] # returning our updated solution return x
Lalu memberikan inputan variabel yang akan digunakan
n = 3 x = [0, 0, 0] a = [[4, 1, 2],[3, 5, 1],[1, 1, 3]] b = [4,7,3]
Menge-print Persamaan A , X dan B
print("Persamaan A = ",a) print("Hasil B = ",b) print("x = ",x)
Melakukan looping berapa banyak yang akan dijalankan tergantung pada iterasi yang ditetapkan
for i in range(0, 25): x = seidel(a, x, b) #print each time the updated solution print("Current x = ",x) print("x1, x2, x3 = ",x)
Berikut Hasil Code yang telah dijalankan :
Persamaan A = [[4, 1, 2], [3, 5, 1], [1, 1, 3]] Hasil B = [4, 7, 3] x = [0, 0, 0] Current x = [1.0, 0.8, 0.39999999999999997] Current x = [0.6000000000000001, 0.9599999999999997, 0.48000000000000004] Current x = [0.52, 0.9919999999999998, 0.49600000000000005] Current x = [0.504, 0.9983999999999998, 0.4992000000000001] Current x = [0.5008, 0.99968, 0.49984] Current x = [0.5001599999999999, 0.9999360000000002, 0.4999679999999999] Current x = [0.500032, 0.9999872, 0.4999936] Current x = [0.5000064, 0.9999974400000001, 0.49999871999999995] Current x = [0.50000128, 0.999999488, 0.4999997439999999] Current x = [0.500000256, 0.9999998976000001, 0.49999994880000004] Current x = [0.5000000512, 0.9999999795199999, 0.4999999897600001] Current x = [0.50000001024, 0.999999995904, 0.499999997952] Current x = [0.500000002048, 0.9999999991808, 0.49999999959040003] Current x = [0.5000000004095999, 0.9999999998361601, 0.49999999991808003] Current x = [0.50000000008192, 0.9999999999672321, 0.49999999998361594] Current x = [0.500000000016384, 0.9999999999934465, 0.49999999999672307] Current x = [0.5000000000032768, 0.9999999999986894, 0.4999999999993445] Current x = [0.5000000000006554, 0.9999999999997378, 0.49999999999986894] Current x = [0.500000000000131, 0.9999999999999478, 0.49999999999997374] Current x = [0.5000000000000262, 0.9999999999999897, 0.49999999999999467] Current x = [0.5000000000000052, 0.9999999999999979, 0.49999999999999895] Current x = [0.5000000000000011, 0.9999999999999994, 0.49999999999999983] Current x = [0.5000000000000002, 0.9999999999999998, 0.5000000000000001] Current x = [0.49999999999999994, 1.0, 0.5] Current x = [0.5, 1.0, 0.5] x1, x2, x3 = [0.5, 1.0, 0.5]
Maka dapat diperoleh dari persamaan diatas $$ x_1 = 0.5 \quad, x_2 = 1 \quad dan \quad x_3 = 0.5 $$ Melakukan Pengecekan , misal Pada Persamaan 1 : $$ 4x_1 + x_2 + 2x_3 = 4, maka \\ 4(0.5)+ 1 + 2(0.5) = 4 \\ 2 + 1 + 1 = 4 \\ 4 = 4, Terbukti $$ Pada Persamaan 2 : $$ 3x_1 + 5x_2 + x_3 = 7, maka \\ 3(0.5)+5 (1)+(0.5) = 7 \\ 1.5 + 5 +0.5 = 7 \\ 7 = 7 ,Terbukti $$
Sekian TerimaKasih ;